数学中的「图论」到底是什么?

表面上看，图论研究的是“顶点和连线”，本质上，图论研究的是离散关系，探索的是“局部的改变”如何影响“整体结构”，当一定数量的对象按照某种既定规则构成一个整体时，这个整体会呈现出哪些性质。

例如著名的“六度分隔理论”，世界上任意两个陌生人，最多只需要通过6个人，就能认识彼此。这个理论源于哈佛的心理学教授Stanley Milgram做的一个小实验，如何将一封纸质信件发给一个完全陌生的人（信件会写上陌生人的姓名），规则是你只能将这封信转交给认识的人，做了很多次实验，Stanley Milgram统计出成功送达的信件，平均转达次数不超过6次。

本质上，六度分隔理论就是将全世界的每个人当成一个点，如果两个人认识就构成一条连线，两个陌生人需要几步能成功送达信件，实际上就是图论中的最短路径问题，图论研究的也就是类似的问题（例如有最短路径，那么肯定就有最长路径）。推荐一本图论的入门介绍书籍《Introduction to Graph Theory》，作者Richard J. Trudeau详细论述了图论的本质，图论虽然研究顶点和连线，但是图论又不关心顶点和连线的数量，只研究顶点和连线的关系。

在数学中，图是离散数学的核心研究对象，在很多数学分支中（组合数学、概率、拓扑等），图都可以用来做为工具使用。在应用领域，图的作用也举足轻重，例如神经网络中的加权有向图，互联网中的网络拓扑图，城市交通网的权重图等，图都可以为这些复杂系统提供抽象研究模型。